“Asomarse a las matemáticas permite vislumbrar un mundo extraordinario, producto de miles de años de trabajo de los intelectos más brillantes”

A estas alturas, ha quedado suficientemente demostrado por la ciencia lo maravilloso que es nuestro universo y los seres materiales que en él existen, incluidos nosotros, los humanos. Pero en el universo no solo existen seres materiales. No quiero decir con esto que crea en los espíritus, la razón nos libre, sino que existen también seres abstractos, creados por la capacidad intelectual del ser humano, y que poseen, no obstante, cualidades si no más, al menos tan extraordinarias como las de los seres concretos.

Un conjunto de seres abstractos de asombrosas propiedades son los números. Entre ellos, los más sorprendentes de todos son los números primos. Como sabemos, un número primo es aquel que no puede dividirse por otro número distinto de él mismo y de la unidad. Como la división no es más que una resta repetida, y la resta, lo contrario de la suma, esto quiere decir que un número primo no puede generarse a base de sumar un número entero de veces los números que le preceden. Para generarlo, a alguna o algunas de esas sumas repetidas de los mismos números será siempre necesario sumarle un número diferente. Por ejemplo, el número 17, primo, no puede ser generado a base de sumar 2, 3, 4, 5, 6…. 16 un número entero de veces. A alguna de esas sumas será necesario sumarle otro número diferente para llegar a 17. Por ejemplo, a 2 sumados 8 veces (16) hay que sumarle 1 (que es obviamente diferente de 2) para llegar a 17. O a 5 sumado 3 veces (15) hay que sumarle 2 (que también es diferente de 5) para conseguir 17.

Constructores de números

Esta incapacidad para construir números primos a base de sumas repetidas de los números que les preceden contrasta fuertemente con la capacidad de los números primos para construir todos los demás. Cualquier número, menos el cero, puede ser construido a base de sumar un número entero de veces un número primo que le preceda. Obviamente esto es así para todos los números pares, que provienen de sumar 2 (primo) un número entero de veces. Pero es igualmente así para los números impares no primos. A esta capacidad de los números primos para generar al resto de los números se le conoce con el nombre de teorema fundamental de la aritmética. Por esta razón el nombre de “primo” le viene muy bien a estos números, ya que son los primordiales, los que generan a los demás y no pueden ser generados por otros.

Las propiedades de estos números son, insisto, extraordinarias. Por ejemplo, se ha demostrado desde los tiempos de Euclides, 300 años antes de Cristo, que existen infinitos números primos. Sin embargo, no se ha podido conseguir ninguna fórmula para generarlos, ni parece que su distribución en el espacio de los números naturales siga regla alguna. Es decir, que dado un número primo, no se puede predecir cuándo nos encontraremos con el siguiente. Puede que lo encontremos dos números más adelante, o millones de ellos más allá.

Los números primos no son solo curiosidades de las matemáticas, sino que, como casi todo en esta ciencia, tienen su utilidad. Aunque no lo sepamos, todos los días utilizamos números primos para, por ejemplo, pagar con una tarjeta de crédito. En ellos reside buena parte de la seguridad de las telecomunicaciones de hoy.

Conjeturas y ordenadores

En la actualidad, la investigación sobre los números primos se ha visto favorecida por el desarrollo de la informática. Así, se han llegado a determinar números primos verdaderamente astronómicos. El mayor número primo conocido hoy es 2 elevado a 43.112.609 menos 1. Este número posee 12.978.189 cifras.

Sin embargo, los ordenadores no han permitido todavía demostrar la veracidad o falsedad de algunas famosas conjeturas sobre estos números. Una de las más conocidas es la llamada conjetura de Goldbach, que dice que cualquier número par puede formarse por la suma de dos números primos. Por ejemplo 8 es 3 más 5, ambos primos, y 24, 11 más 13, que son también primos. Gracias a los modernos ordenadores esta conjetura se ha podido comprobar nada menos que para los cuatro primeros trillones de números pares. Se sospecha, por ello, que la conjetura es cierta, pero en matemáticas las sospechas no son suficientes, ni siquiera comprobadas trillones de veces. Es necesaria la sólida demostración.

Afortunadamente, otras conjeturas sí han podido ser demostradas. La más reciente, propuesta en 1968 por el matemático ruso Alexander Gelfond, ha sido demostrada este mismo año por los matemáticos franceses Christian Mauduit y Joël Rivat. Esta conjetura dice que si sumamos las cifras de los números primos, la mitad de las veces nos dará un número par, y la otra mitad, un número impar. Los métodos matemáticos empleados para demostrar esta aparentemente simple conjetura han sido enormemente innovadores y pueden permitir la resolución de otras conjeturas sobre los números primos. Además, pueden permitir avances en las ciencias de la información y la criptografía. Por ejemplo, los dos investigadores franceses han hallado, gracias a su descubrimiento, una fórmula para generar números primos en base dos (la utilizada en informática) con un número igual de ceros y unos.

Las matemáticas suponen un universo en sí mismo y poder asomarse siquiera a ellas permite vislumbrar un mundo sorprendente, producto de miles de años de trabajo de los más brillantes intelectos. El mundo es asombroso, pero no sería nada sin la mente humana.