Un texto de Miguel Pocoví, adaptado para el podcast de Jorge Laborda “Quilo de Ciencia”

Uno de los teoremas matemáticos más populares es el de Pitágoras, que nos dice que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Tendremos que a² + b² = c², lo que conocemos como una ecuación pitagórica. Por ejemplo, y si el cateto “a” mide 4 metros y el cateto “b” mide 3 metros la hipotenusa “c” medirá 5 metros 3² + 4² = 5² . Si como en este caso “a”, “b” y “c” son números enteros se le denomina una terna pitagórica, y la igualdad es la solución de una ecuación diofántica cuadrática.

Por lo tanto, cabría esperar que otras igualdades semejantes con exponentes enteros mayores que 2 también fuesen posibles, es decir encontrar a³ + b³ = c³, ó a⁴ +b⁴ =c⁴ ó de forma general aⁿ +bⁿ =cⁿ

Sin embargo, esta igualdad sólo es posible si n=2 y esto lo postuló en 1637 Pierre de Fermat, que formuló su teorema de la siguiente forma:

Si “n” es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros no nulos “a”,  “b” y “c” tales que se cumpla la igualdad:

aⁿ +bⁿ =cⁿ

Es decir, esta igualdad sólo es posible si n=2.

Este teorema, si es cierto debería tener una demostración, si no es así solo es una conjetura. Se calcula que del teorema de Pitágoras se han conseguido más de 1.000 demostraciones diferentes y hay catalogadas 367 formas distintas de demostrarlo. Incluso, una de estas demostraciones la consiguió un Presidente de Estados Unidos, James A. Gardfield- (En otra ocasión podemos ver cómo consiguió Gardfield demostrar el Teorema de Pitágoras). Sin embargo, demostrar el teorema de Fermat no ha sido una tarea fácil, tuvieron que transcurrir más de 350 años para conseguir una demostración.

Para demostrar que el teorema de Fermat es cierto tenemos dos opciones: La primera es comprobar combinaciones de números hasta encontrar una que lo contradiga lo que nos demostraría que la proposición que hizo Fermat es errónea, y la segunda utilizar la lógica matemática para analizar si la afirmación es falsa o correcta.

La primera sería la más sencilla si encontráramos un ejemplo que cumpla con la igualdad. La siguiente anécdota sería uno de estos ejemplos, si no fuese errónea. El personaje Homer, de Los Simpson, en uno de los capítulos de esta serie televisiva aparece frente una pizarra en la que se ve la fórmula:
1782¹² + 1841¹² = 1922¹²

Lo curioso es que si con estos números hacéis la prueba, con una calculadora sencilla, de elevar los números a la 12 potencia, aparentemente la igualdad se cumple, pero si hacemos el cálculo con un ordenador con modo de “calculadora científica” en que podamos ver todas las cifras tenemos que:

1782¹² es una cifra muy grande de 40 dígitos

1782¹² = 1025397835622633634807550462948226174976 (esta operación la he hecho con el ordenador en la calculadora científica)

Lo mismo ocurre con 1841¹² que también es una cifra de 40 dígitos

1841¹² = 1515812422991955541481119495194202351681 (esta operación la hecho con el ordenador con modo de calculadora científica)

Si ahora sumamos estos números dos números tan grandes obtenemos otro número de 40 dígitos.

1782¹² + 1841¹² = 2541210258614589176288669958142428526657 (otra de cuarenta dígitos, con calculadora científica)

Cifra que tiene los 9 primeros dígitos que coinciden con

1922¹² = 2541210259314801410819278649643651567616 (cifra de cuarenta dígitos con calculadora científica)

Al ser unos números tan grandes, en la mayoría de pantallas de una calculadora solo aparecerían las primeras cifras y si redondeamos las 10 primeras cifras, confunde. Es un problema de las calculadoras: cuando trabajamos con un número de cifras muy grande nos salimos del rango máximo de trabajo de la calculadora y eso produce un error que la máquina soluciona redondeando. Pero como podéis, ver las dos cifras completas difieren totalmente, solo coinciden al principio. Esta “ocurrencia” de Homer fue idea de uno de los guionistas de Los Simpsons, David X. Cohen. Cohen señaló en un programa que buscaba combinaciones de “a”, “b”, “c” y n que parecían cumplir el último teorema de Fermat en una calculadora. Tres años más tarde, 1998, Cohen volvió a brindarnos otra igualdad en Los Simpsons:

3987¹² + 4365¹² = 4472¹²

Si, de nuevo, hacemos los cálculos como en caso anterior tampoco se cumple la igualdad pero al redondear la calculadora las 10 primeras cifras aparentemente es correcta.

En cualquier caso, aunque sabiendo el error que se produce, hay que reconocer el ingenio de Cohen, ya que es complicadísimo encontrar estos dos ejemplos, de algo le tenía que servir a Cohen ser Licenciado en Física por la Universidad de Harvard y Máster en Ciencias de la Computación por la Universidad de Berkeley.

Hay que tener en cuenta que, si el teorema resultara ser verdadero, te puedes pasar toda tu vida probando números en la ecuación sin encontrar nunca un ejemplo que lo contradiga. Si cuando mueres todavía no has encontrado un contraejemplo, tampoco demuestras nada, ya que te faltarían siempre un número infinito de números que probar. Por tanto, lo más lógico, y valga la redundancia, es que los matemáticos utilicen la lógica como opción preferencial.

Vamos a relatar los hechos del planteamiento y descubrimiento de este teorema.

El planteamiento lo hizo Pierre de Fermat, jurista francés, uno de los grandes matemáticos del siglo XVII y conocido como el padre de la teoría de números, en el año 1637, él conjeturó el teorema que lleva su nombre en un margen del libro, Arithmetica, sobre las Ecuaciones de Diofante, donde anotaba las reflexiones que le iban surgiendo. La anotación era la siguiente: Se puede decir que es un párrafo en latín y no leerlo

Por la última frase de esta anotación que Fermat escribió en el margen del libro: “Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet”, cuya traducción es “Poseo una demostración en verdad maravillosa para este hecho, pero este margen es demasiado estrecho para contenerla” lo que sostenía que lo había demostrado.

Es probable que Fermat llegara a demostrar el caso para n=4 mediante el método de descenso infinito; pero también es probable que se equivocara al creer que tenía la prueba para el caso general, es decir, para cualquier número n>2, por lo tanto es dudoso que lo demostrara para el caso general.

Por lo tanto, esta conjetura tenía que ser demostrada y esto no ha sido una tarea fácil, porque tuvieron que transcurrir más de 350 años para conseguirlo. Se calcula que se han gastado más esfuerzos en demostrar esta conjetura que la NASA en conseguir llegar a la Luna. Ha habido muchísimas historias y anécdotas en torno a esta afirmación: Demostraciones falsas, afirmaciones de que es imposible demostrarlo, piques entre matemáticos para ver quién llegaba antes a tener una prueba definitiva, desarrollo de otras teorías matemáticas y, lo más importante, un enorme avance de las matemáticas en intentar demostrarlo.

La demostración la consiguió, Andrew Wiles (Cambridge, Inglaterra, 1953), matemático de gran prestigio que trabaja en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton (USA), consiguió en 1995, utilizando la lógica, demostrar el Teorema de Fermat en un artículo de 108 páginas publicado en la revista Annals of Mathematics. A Wiles el teorema le fascinó cuando era un niño de 10 años porque, pese a ser tan simple que lo podía entender, era tan complejo que nadie lo había resuelto en sus tres siglos de historia.

Previamente, en 1993 Andrew Wiles presentó una demostración del teorema de Fermat, tras una serie de conferencias en el Instituto Isaac Newton, en Cambridge. Al final de su última conferencia anunció que tenía una prueba para el Teorema de Fermat. Sin embargo, al quedar escritos los resultados para su publicación, se le descubrió un sutil error. Este intento fallido le produjo una gran frustración y depresión, así como una negativa a continuar con su trabajo, pero gracias a la ayuda y ánimo de su ex doctorando Richard Taylor, Wiles continuó trabajando duro y encontró la solución que publicó en el año 1995.

La prueba propuesta por Wiles es indirecta, ya que demuestra algo mucho más amplio, la conjetura de Taniyama, básica para las matemáticas modernas, que toma el nombre del japonés Yutaka Taniyama. Se refiere a las curvas elípticas, ecuaciones matemáticas que dan lugar a objetos similares a la superficie de una rosquilla. Si el teorema de Fermat no fuera cierto, o sea, si las ecuaciones tuvieran soluciones, darían lugar a determinadas curvas elípticas inexistentes.

En 2016, se le concedió al Dr. Wiles el premio Abel de la Academia Noruega de Ciencias y Letras, que viene a ser el equivalente al premio Nobel en Matemáticas, galardonado con 600.000 euros, por haber confirmado esta conjetura matemática. Sin embarg, Wiles no llegó a tiempo de recibir la prestigiosa medalla Fields ya que sólo se entrega a matemáticos de menos de 40 años. El período de revisión, 2 años, que utilizó para encontrar el error, junto a Richard Taylor hizo que hubiera cumplido los 42 años, cuando la demostración fue publicada. El logro de Wiles fue ampliamente recompensado con otros premios, como el Premio Rey Faisal galardonado con 200.000 dólares, el Premio Wolfskehl, Premio Schock en Matemáticas de la Real Academia Sueca de Ciencias y el Premio Fermat de la Université Paul Sabatier, entre otros.

Andrew Wiles estaba muy orgulloso de su logro y dijo:

“…no hay otro problema que vaya a significar lo mismo para mí. Tuve este raro privilegio de ser capaz de alcanzar en mi edad adulta lo que había sido el sueño de mi infancia. Sé que es un raro privilegio, pero sé que si se puede hacer, es más gratificante que ninguna otra cosa que uno pueda imaginarse”

Miguel Pocoví (29-06-2020)