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El Neutrino

El neutrino es una partícula esquiva, en apariencia insignificante, pero necesaria para explicar el mundo. Ni la radiactividad, ni el big bang, ni el Modelo Estandar de la física de partículas serían posibles sin él. Con El neutrino, un blog nacido en febrero de 2009, el físico y escritor Germán Fernández pretende acercar al lector, y ahora al oyente, al mundo de la ciencia a partir de cualquier pretexto, desde un paseo por el campo o una escena de una película, hasta una noticia o el aniversario de un investigador hace tiempo olvidado.

Simon Newcomb y la ley de Benford

Newcomb y Benford - Podcast El Neutrino - Cienciaes.com

En una biblioteca pública es fácil saber si un libro es un tostón. Si la mayor parte de los lectores que lo han empezado no han sido capaces de acabarlo, las primeras hojas estarán más usadas que las últimas, que estarán como nuevas. Seguro que esto fue lo primero que pensó el astrónomo canadiense Simon Newcomb cuando, en 1881, se dio cuenta de que eso mismo ocurría con las tablas de logaritmos de la Oficina del Almanaque Náutico del Observatorio Naval de los Estados Unidos, de la que era director.

Simon Newcomb y la tabla de logaritmos

En el siglo XIX no había ni ordenadores ni calculadoras. Todos los cálculos se hacían a mano o, como mucho, con ábacos o reglas de cálculo. Se publicaban libros y tablas con los valores de las funciones de uso corriente, como senos, cosenos y logaritmos, para facilitar el trabajo de científicos, ingenieros, marinos… Las tablas de logaritmos se usaban con frecuencia, y Newcomb observó que las primeras páginas, las que corresponden a los números que empiezan por 1, estaban mucho más usadas que las demás. Una tabla de logaritmos no es un libro que uno lea de principio a fin, así que aunque una tabla de logaritmos sea un tostón para leer, que lo es, eso no explica la diferencia de uso.

En las tablas de logaritmos, los números están ordenados, así que los números cuya primera cifra es el 1 se agrupan en las primeras páginas, mientras que los que empiezan por 9 están al final. Newcomb dedujo que los dígitos iniciales (sin contar el cero) de los números que se habían consultado en esas tablas no tenían la misma probabilidad, sino que esa probabilidad es decreciente desde el 1 hasta el 9: el 1 es el más frecuente, y el 9 el menos. Sin ofrecer una demostración formal, Newcomb enunció una ley logarítmica sobre la ocurrencia de los números: “la ley de probabilidad de la ocurrencia de números es tal que las mantisas de sus logaritmos (o sea, sus partes fraccionarias) son equiprobables”. Newcomb publicó esta hipótesis bajo el título Nota sobre la frecuencia de uso de los diferentes dígitos en los números naturales en la revista American Journal of Mathematics. Así, la probabilidad de que un número empiece por 1, según esa ley logarítmica, es del 30 %; la de que empiece por 2, del 17,6 %; la probabilidad de que empiece por 3 baja al 12,5 %; y así sucesivamente hasta el 9, que tiene una probabilidad de sólo el 4,6 %.

Cifra Probabilidad
1 0,301
2 0,176
3 0,125
4 0,097
5 0,079
6 0,067
7 0,058
8 0,051
9 0,046

Es un resultado que va contra la intuición y parece absurdo. Pero Newcomb sabía de lo que hablaba, era un buen científico y un buen matemático.

La vida y obra de Simon Newcomb

Simon Newcomb había nacido en Wallace (Nueva Escocia, Canadá) el 12 de marzo de 1835. Educado por su padre, maestro de escuela itinerante, en 1851 entró como aprendiz de un curandero en Nuevo Brunswick. Dos años más tarde, desengañado, abandonó al charlatán, y en 1854 volvió con su padre. Durante dos años fue maestro en Maryland (EE.UU.) mientras estudiaba matemáticas, astronomía, economía, política y religión. En 1856 trabajó como tutor privado cerca de Washington. En 1857 se colocó como calculador en la Oficina del Almanaque Náutico del Observatorio Naval de los Estados Unidos (como ya hemos dicho, en la época no había ordenadores ni calculadoras) y se matriculó en la Universidad de Harvard, donde se licenció en 1858.
Profesor de matemáticas y astrónomo del Observatorio Naval de los Estados Unidos desde 1861, en 1875 rechazó el puesto de director del Observatorio Universitario de Harvard para dedicarse a las matemáticas. En 1877 fue nombrado director de la Oficina del Almanaque Náutico, y catedrático de matemáticas y astronomía de la Universidad Johns Hopkins en 1884.

En 1885 publicó Principios de economía política, obra que fue alabada por John Maynard Keynes.

En 1891 utilizó el bamboleo de Chandler, una pequeña oscilación del eje de rotación de la Tierra descubierta ese mismo año por el astrónomo Seth Carlo Chandler, para estimar la rigidez de nuestro planeta. Según sus resultados, la Tierra es ligeramente más rígida que el acero.

En 1900 publicó una novela de ciencia ficción, His Wisdom the Defender.
Simon Newcomb murió en Washington el 11 de julio de 1909. Sus precisos cálculos y observaciones astronómicas mejoraron enormemente las efemérides astronómicas, y se han seguido utilizando décadas después de su muerte.

Frank Benford redescubre a Newcomb

Pero la observación de Newcomb sobre las probabilidades de los dígitos iniciales de los números cayó en el olvido. Hasta que, en 1938, el físico estadounidense Frank Benford hizo la misma observación en las tablas de logaritmos y, tras comprobar empíricamente más de 20.000 números de 20 muestras diferentes, entre ellas áreas de ríos, población de localidades, cotizaciones de bolsa, constantes físicas, pesos moleculares, constantes matemáticas, tasas de mortalidad, números de direcciones postales e incluso números extraídos de una revista, postuló la ley de los números anómalos, hoy conocida como Ley de Benford. La ley de Benford establece que la primera cifra no nula n en una muestra de números extraídos del mundo real aparece con una probabilidad logarítmica:
log10(n+1) – log10(n)

Es la misma ley logarítmica que enunció Newcomb. Esta misma ley sirve también para calcular la probabilidad de cualquier número de primeras cifras; por ejemplo, la probabilidad de que las tres primeras cifras sean 111 es de
log10(112) – log10(111) = 0,0039
mientras que la probabilidad de que las tres primeras cifras sean 999 es de solo
log10(1000) – log10(999) = 0,00043
La ley de Benford va en contra de la intuición, uno pensaría que la probabilidad de ser la primera cifra de un número debería ser la misma para todas, del 1 al 9. Pero se puede ver fácilmente que no es así con un ejemplo: los números de calle en un conjunto de direcciones postales. La numeración de todas las calles empieza en el número 1, pero unas calles tienen más números que otras. Unas, muy cortas, sólo tendrán el 1. Otras tendrán 1 y 2, o 1, 2 y 3, etc. En las calles que tienen entre 10 y 19 números, el uno es más probable que los demás; en las que tienen entre 20 y 29, es la probabilidad del 1 y el 2 la que es más alta. Y así sucesivamente. En conjunto, con una muestra suficientemente grande de direcciones de muchas calles diferentes, se cumple la ley de Benford.

La ley de los números anómalos

Pero esa explicación no sirve para los datos científicos. La explicación general más sencilla de la ley de Benford recurre a la invariancia de escala. Existe invariancia de escala cuando, en un conjunto de datos, la distribución de probabilidad es la misma independientemente de las unidades en las que se expresen esos datos. Por ejemplo, la distribución de probabilidad de un conjunto de longitudes de ríos es más o menos la misma se expresen éstas en metros, en pies o en leguas. Se puede demostrar que la invariancia de escala en un conjunto de datos implica que éstos tienen que cumplir la ley de Benford.

Sin embargo, esta ley no se aplica a todas los conjuntos de números que podamos imaginar; en general, es necesario que los números estén distribuidos a lo largo de varios órdenes de magnitud. Por ejemplo, puede aplicarse a las cifras de población de los municipios de un país, pero no a las cifras de población de las aldeas, si definimos aldea como una población con menos de cien habitantes. Ni pueden aplicarse a las estaturas de un grupo de adultos: medidas en metros, casi todas ellas empiezan por 1, y solo unas pocas por 2. Ni a los números de teléfono, cuya asignación por cifras es arbitraria, ni a números redondeados (o antirredondeados, como los precios, que se agrupan en valores de la forma XX,99).

La Ley de Benford es más que una curiosidad matemática; se ha utilizado para detectar fraudes en muchos tipos de datos numéricos, como informes contables, publicaciones científicas… Por ejemplo, según la ley de Benford, los datos macroeconómicos que presentó el gobierno griego a la Unión Europea para su ingreso en el euro eran probablemente fraudulentos.

OBRAS DE GERMÁN FERNÁNDEZ:

El expediente Karnak. Ed. Rubeo

El ahorcado y otros cuentos fantásticos. Ed. Rubeo

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