Hoy vamos a iniciar una nueva modalidad de Quilo de Ciencia que me gusta titular: el Quilo de mi profe. Me explico. Como algunos sabéis, mantengo una relación de amistad con mi profesor de Bioquímica durante la carrera universitaria y durante mi tesina, Miguel Pocoví Mieras. Si, sí, queridos alumnos que podáis escucharme, es posible mantener relaciones de amistad con antiguos profesores. Sé que esto es hoy difícil de imaginar, pero os aseguro que es posible, y yo doy cuenta de ello.

Además de excelente profesor, Miguel también es un excelente divulgador. Tiene escritos decenas de interesantísimos artículos sobre una variedad de temas científicos. Los artículos me han resultado tan interesantes, que me he dicho que es una pena que no los comparta con vosotros y os haga así también partícipes de las enseñanzas de mi profesor.

La primera entrega del “Quilo de mi profe”, Miguel Pocoví:

La sagacidad de las abejas: La conjetura matemática del panal, Thomas Hales y el observatorio espacial James Webb.

Miguel Pocoví (17-03-2021)

Las construcciones que realizan las abejas han atraído desde siempre la atención de científicos, literatos y artistas. Si queremos rellenar un plano con formas geométricas idénticas, es decir poner teselas, el hacerlo con hexágonos es la forma más eficiente y que ofrece el menor perímetro.
Las abejas eligen esta forma hexagonal para construir las celdas de los panales y de esta forma utilizan la menor cantidad de cera posible. Las abejas guardan su miel en celdas para formar una superficie sin huecos optimizando el aprovechamiento del espacio.
La fabricación de cera es un proceso costoso que requiere tiempo y un gran consumo de calorías. Se calcula que para fabricar 1 kg de cera las abejas, dependiendo de la temperatura, deben ingerir una media entre 4 y 12 kg de miel.
El panal es construido por abejas obreras y es utilizado para depositar la miel y el polen. A la vez, las celdas son el habitáculo para la cría de obreras y zánganos.
Alrededor del año 36 a.d.C., Marco Terentius Varro, en su libro sobre agricultura, escribió sobre la forma hexagonal del panal de abejas. Había dos teorías en competencia para explicar esta estructura hexagonal. Una teoría sostenía que los hexágonos se adaptaban mejor a las seis patas de la abeja.
La otra teoría, apoyada por los matemáticos de la época de Varro, era que la estructura se explicaba por una propiedad isoperimétrica del panal hexagonal y constituye lo que conocemos como “Conjetura del panal de abejas”.
Conjetura del panal de abejas y su demostración por Hales.
La conjetura del panal de abeja era una conjetura hasta que se demostró, como veremos más adelante, y se convirtió en teorema matemático. La conjetura afirma: “Cualquier partición del plano en regiones de igual área tiene un perímetro al menos del mosaico de panal hexagonal”. Es decir, el panal de abejas es la mejor manera de dividir una superficie en regiones de igual área y con el mínimo perímetro total.
Solo existen tres polígonos regulares que teselan el plano: cuadrados, triángulos equiláteros y hexágonos regulares. Si tenemos un cuadrado, un triángulo equilátero y un hexágono regular del mismo perímetro, el hexágono es el que contiene más área. Por lo tanto si quiero guardar material, los hexágonos son las mejores.
A efectos de ahorro de material, dos celdillas hexagonales adyacentes son ya más económicas que dos triangulares o cuadradas. Por otra parte, resulta imposible el teselar todo el plano con pentágonos, heptágonos y octágonos regulares.
En parte debido a la propiedad isoperimétrica del panal, existe una vasta literatura a través de los siglos que menciona a la abeja como geómetra.
Durante el siglo XVIII, la arquitectura matemática del panal fue vista como evidencia de una gran tendencia teleológica del universo. Todo esto demuestra que nuestros antepasados se interesaban a menudo por cuestiones nada triviales.
El problema del panal nunca se había resuelto, excepto bajo hipótesis especiales, tales como la de convexidad. En 1999 el matemático americano Thomas Callister Hales (1958) envió para su publicación un artículo sobre esta conjetura titulado: “The Honeycomb Conjecture”. Tras su revisión por expertos
el artículo fue publicado en el 2001 en la revista Discrete & Computational Geometry. El su artículo de Hales proporciona una prueba sin el supuesto de convexidad por lo que la conjetura pasa a ser un teorema.
Acabamos de ver que la estructura hexagonal de las celdillas de las abejas en un plano es la ideal para gastar menos cera y acumular más miel. Sin embargo si miramos un panal de frente, el enrejado de hexágonos son solo las entradas en un plano, mientras que el estudio del fondo de las celdas es también muy importante tanto para guardar material como para el ahorro de cera, así como para encajar en dos planos.
Lo más lógico era suponer que las celdas son simplemente prismas hexagonales el fondo cerrado. Pero si se observan las celdillas el fondo del panal este no es plano, sino que forma una pirámide con tres rombos en forma de diedro.
Estas celdas encajan perfectamente en un sistema de dos capas: cuando tres celdas se colocan juntas en la misma orientación dejan un hueco donde una cuarta celda colocada en la orientación contraria encaja perfectamente.
Por tanto, las celdas, siguiendo este sistema de doble capa, llenan perfectamente el espacio entre dos planos paralelos sin dejar huecos y formando una estructura de gran rigidez.
Aplicaciones prácticas.
A continuación vamos a ver que las matemáticas sirven para el desarrollo y no se quedan solo en números, conjeturas y teoremas. El ser humano ha sabido usarlas para convertir sus aplicaciones en investigación y exploración.
Como ejemplo, para ilustrar lo que acabamos de decir, vamos a ver una aplicación de esta conjetura, ya teorema, en la construcción de un telescopio, el James Webb Space Telescope (JWST), en honor al que fue administrador de la NASA durante el Proyecto Apolo. Este telescopio previsiblemente será objeto de noticias este año. La NASA tras muchos retrasos como consecuencia del coronavirus y de algunos problemas técnicos, tiene previsto su lanzamiento desde la Guayana Francesa el 31 de octubre de 2021.
La capacidad de un telescopio viene condicionada por el tamaño del espejo que tiene, porque el objetivo es recoger la mayor cantidad posible de luz del cosmos sobre una superficie, un área total sin áreas inactivas. El JWST está incluido en un observatorio espacial que ayudará a descubrir los misterios del cosmos. Este telescopio requiere de un espejo primario que en su caso es un reflector de berilio de 6.5 metros de diámetro y 25 metros cuadrados de área, es tan grande, no cabría en ningún cohete existente.
El JWST se ha construido con un conjunto de 18 piezas de espejos hexagonales que pueden plegarse para que quepan en el cohete, además su
forma tipo panal hace posible que cada espejo se ajuste perfectamente en sus bordes (ver figura)
El observatorio detectará la luz de la primera generación de galaxias que se formaron en el universo temprano después del Big Bang y estudiará las atmósferas de planetas cercanos en busca de posibles signos de habitabilidad.

Fuentes consultadas.
1. Hales, T. The Honeycomb Conjecture. Discrete Comput Geom 25, 1–22 (2001). https://doi.org/10.1007/s004540010071
2. González Llorente J. Arquitectas prodigiosas, héroes, billares y problemas de máximos y mínimos. La Gaceta de la RSME, (2013), Vol. 16 Núm. 2, Págs. 241–269. https://gaceta.rsme.es/abrir.php?id=1143
3. James Webb Space Telescope https://www.jwst.nasa.gov/
4. Räz, T. On the Application of the Honeycomb Conjecture to the Bee’s Honeycomb. Philosophia Mathematica 2013; 21(3): 351–60.
http://philsci-archive.pitt.edu/10918/1/honeycomb_final.pdf